Построить Лачх В Маткаде
Логарифмические частотные характеристики определяют усилительные свойства системы (ЛАЧХ) и сдвиг фазы выходной величины (ЛФЧХ) в логарифмическом масштабе. ЛАЧХ - модуль комплексной функции АФЧХ с учетом логарифмического масштаба, а ЛФЧХ - аргумент комплексной функции. Построим с помощью пакета MatLab логарифмические амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ), фазово-частотную характеристику (ЛФЧХ) и амплитудную фазово-частотную характеристику (АФЧХ) для разомкнутой системы. Для проверки построим все графики в MathCad: Рис.8.АФЧХ построенная в MathCad. ЛАЧХ построенная в MathCad. Рис.10.ЛФЧХ построенная в MathCad.
Пусть в общем случае линейная система описывается дифференциальным уравнением n-го порядка., (2.1) где и соответственно входной и выходной сигналы системы. Преобразуем левую и правую части этого уравнения по Лапласу. В результате получим следующее алгебраическое уравнение, (2.2) где - оператор дифференцирования. Передаточной функцией системы называется отношение выходного сигнала к входному, преобразованных по Лапласу при нулевых начальных условиях. Тогда передаточная функция рассматриваемой системы равна.
(2.3) Частотные характеристики системы, в том числе элементарных динамических звеньев, могут быть получены при рассмотрении реакции системы на гармонические воздействия разной частоты. При прохождении через линейную систему гармонического сигнала разной частоты у выходного сигнала в общем случае изменяются только амплитуда и фаза, частота остается неизменной. К частотным характеристикам относятся: - амплитудно - фазовая частотная характеристика (АФЧХ), - амплитудная частотная характеристика (АЧХ), - фазовая частотная характеристика (ФЧХ), - логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ), - логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФЧХ). Рассмотрим частотную передаточную функцию, которая получается из передаточной функции (2.3) путем замены, где является частотой. (2.4) Функцию можно записать в следующем виде, (2.5) где (2.6) На комплексной плоскости представляет собой вектор, при изменении частоты от до + конец вектора описывает кривую, называемую амплитудно - фазовой частотной характеристикой (АФЧХ). Например АФЧХ может иметь следующий вид Рис.2.2.
Длина вектора равна. График является амплитудной частотной характеристикой (АЧХ) Рис.2.3. На этой характеристике - полоса пропускания системы, - резонансная частота, а - частота среза. Аргумент, представляющий собой угол между вектором и действительной положительной полуосью называют фазовой частотной характеристикой (ФЧХ).
Кроме того, в соответствии с (2.5) график действительной части называется вещественной частотной характеристикой, а график мнимой части - мнимой частотной характеристикой. Наряду с перечисленными частотными характеристиками самое широкое применение находят логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ), а именно логарифмические амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики - соответственно ЛАЧХ и ЛФЧХ. Для ЛАЧХ по оси ординат откладывают. Единицей измерения является децибел. Для ЛФЧХ по оси ординат откладывается значение угла в градусах.
По оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе, причем на отметке, соответствующей значению, записывается само значение частоты Ось ординат проходит не через точку, так как в этом случае, а через произвольную точку обычно малой частоты. На рисунке 2.4 изображена так называемая реальная ЛАЧХ. На практике обычно ограничиваются построением асимптотических ЛАЧХ, представляющих собой ломаные линии (на рисунке пунктирная линия). Частоты при которых пересекаются асимптоты называются сопрягающими, они связаны с постоянными времени системы соотношением Получим в MATHCAD 7 частотные характеристики, рассмотренных в лабораторной работе №1 элементарных динамических звеньев. Частотные передаточные функции этих звеньев имеют следующий вид: - безынерционное звено; - апериодическое звено; - колебательное звено; - интегрирующее звено; - дифференцирующее звено. Рассмотрим также частотные характеристики форсирующих звеньев, имеющих следующие частотные передаточные функции: - первого порядка; - второго порядка. Кроме того исследуем частотные характеристики двух неустойчивых неминимально-фазовых звеньев с частотными передаточными функциями,.
Программа в MATHCAD 7 получения частотных характеристик апериодического звена имеет следующий вид. Задаем диапазон изменения Записываем частотную передаточную функцию Формируем вещественную и мнимую частотные функции Формируем АЧХ и ФЧХ звена Выводим графики частотных характеристик АФЧХ Рис.2.5. АЧХ ФЧХ Рис.2.6. Приведем, полученные в MATHCAD 7 частотные характеристики звеньев: - безынерционного при k=10 АФЧХ АЧХ ФЧХ ЛЧХ Рис.2.8.
колебательного при k=10, T=0.1 и x=0,5. АФЧХ АЧХ ФЧХ ЛЧХ Рис.2.9. интегрирующего звена при k=10 АФЧХ АЧХ ФЧХ ЛЧХ Рис.2.10. дифференцирующего звена при k=10 АФЧХ АЧХ ФЧХ ЛЧХ Рис.2.11. ЛАЧХ и ЛФЧХ форсирующего звена первого порядка при k=1 и T=0,1 имеют вид Рис.2.12. Необходимо отметить, что в отличие от апериодического звена наклон ЛАЧХ после точки сопряжения составляет +20 дБ/дек, а фазовый сдвиг стремиться к +90 градусов.
У форсирующего звена 2-го порядка (Рис.2.13) наклон ЛАЧХ после точки сопряжения составляет уже +40 дБ/дек, а фазовый сдвиг стремиться к +180 градусов. Так как сдвиг фазы у рассмотренных звеньев стремиться у одного к +90 градусов, а у второго к +180 градусов, то поэтому эти звенья и относится к форсирующему типу. Приведем, полученные в MATHCAD 7 ЛЧХ неустойчивого апериодического звена Рис.2.12. И неустойчивого колебательного звена Рис.2.13. Из анализа ЛАХ неустойчивых звеньев следует, что ЛАЧХ соответствующих устойчивых и неустойчивых звеньев совпадают.
Фазовые сдвиги у неустойчивых звеньев по абсолютному значению выше, по сравнению с устойчивыми звеньями. Поэтому неустойчивые звенья и получили название неминимально-фазовых в отличие от устойчивых - минимально-фазовых звеньев. 2) Задание на лабораторную работу а) Для апериодического звена получить частотные характеристики (АФЧХ, АЧХ, ФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ) при следующих исходных данных Таблица 2.1 k 0.5 T 0.1 0.2 0.3 Оценить влияние на эти характеристики параметров звена k и T. Б) Для колебательного звена при исходных данных, приведенных в таблицах 2.2 и 2.3. Получить частотные характеристики (АФЧХ, АЧХ, ФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ).
Таблица 2.2 x 0.5 0.5 0.5 k 0.5 T 0.2 0.3 Таблица 2.3 x 0.1 0.5 0.8 k T 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 Оценить влияние на эти характеристики параметров звена k,T и x. В) Для интегрирующего звена при k=1, 10 и 100 получить частотные характеристики (АФЧХ, АЧХ, ФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ). Оценить влияние коэффициента передачи на вид характеристик. Г) Для дифференцирующего звена при k=1, 10 и 100 получить частотные характеристики (АФЧХ, АЧХ, ФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ).
Оценить влияние коэффициента передачи на вид характеристик. Д) Для неустойчивого (неминимально-фазового) колебательного звена при k=1, T=0.01 и x=0,1 получить ЛАЧХ и ЛФЧХ.
Построить Ачх В Маткаде
Сравнить их с аналогичными характеристиками устойчивого колебательного звена. 3) Отчет по лабораторной работе Отчет должен содержать: - cхему моделирования; - частотные передаточные функции звеньев; - аналитический вид частотных характеристик; - программы моделирования; - полученные частотные характеристики; - найденные значения частоты среза, частоты пропускания и резонансной частоты (если есть); - выводы. В выводах должна быть дана оценка влияния коэффициентов исследуемых звеньев на вид частотных характеристик. 4) Вопросы для самопроверки 1.
Какие существуют частотные характеристики? Какие параметры изменяются у синусоидального сигнала при его прохождении через линейную систему? Что такое АФЧХ, как она находится, какие частотные характеристики по ней могут быть определены? Как определяются логарифмические частотные характеристики? Что такое частота сопряжения и как она определяется?
Как определить полосу пропускания системы? Как влияет на вид ЛАЧХ колебательного звена изменение коэффициента демпфирования? Какие звенья относятся к звеньям форсирующего типа и почему? Какие звенья называются неминимально-фазовыми? ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2.
MATHCAD В ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ. Капалин В.И., Шаповалова Н.Е. Москва, МИЭМ НИУ ВШЭ.
Система компьютерной математики Mathcad обладает широкими возможностями для численных и символьных вычислений, а также мощными графическими возможностями, реализованными посредством удобного и наглядного интерфейса. Это позволяет её использовать при исследовании устойчивости систем и при решении задач теории управления частотными методами. Ключевые слова: Mathcad, теория управления, частотные методы. Mathcad in control theory. Kapalin V.I., Shapovalova N.E., Moscow, MIEM HSE.
The system of computer mathematics Mathcad has wide opportunities for numerical and symbolic computation, as well as powerful graphics capabilities, implemented through an easy and intuitive interface. This allows its use in stability analysis of systems and for solving problems of the theory of frequency control methods. Key words: Mathcad, control theory, frequency domain methods. За последнее время широкое распространение получили системы компьютерной математики, такие как Maple компании Waterloo Maple Inc., Mathematica компании Wolfram Research, MATLAB компании MathWorks и Mathcad, принадлежащая компании PTC. В процессе преподавания теории управления в крупных технических университетах мира обычно используется система MATLAB — наиболее распространенная и обширная. Эта система сделала теорию управления значительно более ясной и доступной для изучения.
Построение Лачх В Маткаде
Однако, эта, исторически сложившаяся ситуация, не может рассматриваться как единственно возможная. Недостатки MATLAB хорошо известны — не самый удобный для пользователя интерфейс командного окна, большой объем памяти, занимаемый программой при установке на компьютер полной версии и наличии расширений, которые предназначены для узких специалистов и не используются в теории управления. Наконец, высокая стоимость MATLAB делает проблематичным её приобретение для многих технических университетов РФ.
Россия карта. Ваше имя: Email: Подтвердить наличие, срок поставки Уведомить о снижении цены Зарезервировать Кол-во, шт: Пожалуйста, сформулируйте Ваши вопросы относительно автомобильная карта Европы GARMIN City Navigator Europe NT 2017 (2016 год): Тел. Вы можете задать нам вопрос(ы) с помощью следующей формы. Есть вопросы по автомобильная карта Европы GARMIN City Navigator Europe NT 2017 (2016 год)?
В указанной связи в вузах РФ в качестве альтернативы MATLAB стала рассматриваться значительно более компактная и более удобная для учебных приложений система Mathcad. Система Mathcad обладает интерфейсом, который действительно можно назвать 'дружественным'. Формулы записываются в любом месте рабочего листа, практически в своей обычной форме. Для построения графиков не нужно изучать специальных операций с массивами, как в MATLAB. Графики строятся не в отдельном графическом окне, а в том месте на рабочем листе, которое указывается пользователем.
Если в процессе работы вносятся изменения во введенные формулы, то все последующие численные результаты автоматически пересчитываются, а графики — перестраиваются. Наконец, Mathcad гораздо более терпимо, 'дружелюбно' относится к неизбежным ошибкам пользователя при вводе формул и не делает, например, глобальной проблемы, как MATLAB, если вместо точки по недосмотру введена запятая. Все эти преимущества Mathcad оказываются очень привлекательными для студентов технических университетов, которые часто изучают основы работы в Mathcad самостоятельно. Система Mathcad имеет два ядра — цифровое и символьных операций. Поэтому в Mathcad легко реализуется основной математический аппарат теории непрерывных и дискретных систем управления — преобразования Лапласа, Фурье и Z-преобразование. Наличие обычной двумерной графики и графики в полярных координатах позволяет реализовать классические частотные методы теории систем управления. Как это ни странно, но одним из достоинств Mathcad с педагогической точки зрения является отсутствие в системе встроенных команд для реализации методов теории управления, в отличие от системы MATLAB.
Следствием этого обстоятельства является то, что для применения того или иного метода теории управления пользователь — студент должен точно ввести соответствующие формулы. При этом небольшие документы, такие как, например, студенческие лабораторные и курсовые работы можно оформлять непосредственно в Mathcad при помощи возможностей работы с текстом, не прибегая к средствам Microsoft Word или других текстовых редакторов. Частотные критерии устойчивости в Mathcad реализуются так, как показано на следующих рисунках.
На рис. 1 и рис. 2 приведены графики годографа Михайлова для случаев устойчивой и неустойчивой систем третьего порядка. Критерий устойчивости Найквиста для случаев устойчивой и неустойчивых систем в замкнутом состоянии реализуется так как показано на рис. 3 — рис. 5. Частотные характеристики — амплитудная, фазовая, логарифмическая и асимптотическая логарифмическая в Mathcad для случая колебательного звена приведены на рис. 6 — рис. 8. Частотный синтез замкнутой системы управления в Mathcad можно осуществить с помощью окружностей Холла, графики которых приведены на рис. 9.
Построение Ачх В Маткаде
Для астатической системы с передаточной функцией объекта управления при, и, при показателе колебательности, подберем соответствующее значение коэффициента усиления — из диаграммы Холла и годографа Найквиста — рис. 10. Соответствующий график переходного процесса для замкнутой системы, построенный в Mathcad, приведён на рис. 11.
Синтезированная система с обратной связью, как это следует из приведенного графика переходной характеристики, обладает желаемыми показателями качества.